Пусть функция у = f(x) определена во всех точках отрезка [а; b]. Произвольной конечной системой точек x₁, i = 0, 1, ... , п, таких что



разбиваем отрезок [а; b] на отрезки [x_i; x_i+1]; i = 0, 1, ... , n - 1.
На каждом из полученных отрезков произвольным образом выбираем точку c_i+1: c_i+1 [x_i; x_i+1], и рассчитываем значение функции у = f(x) в этих точках.
Составляем так называемую интегральную сумму, соответствующую данной разбивке x_i и выбору точек c_i+1, i = 0, 1, ... , n - 1 :



где x_i = х_i+1 - х_i
Обозначим через = max |x_i|, т. е. - длина наибольшего из отрезков [x_i; x_i+1].

Определение 1. Если при -> 0 (n -> ) существует конечный предел интегральных сумм , то этот предел называется определенным интегралом функции у = f(x) на отрезке [а; b]:



Определение 2. Если существует определенный интеграл функции у = f(x) на некотором отрезке, то функция называется интегрируемой на этом отрезке.
К числу наиболее важных типов интегрируемых функций относятся непрерывные функции; ограниченные функции, имеющие конечное число точек разрыва; ограниченные монотонные функции.